3. Реализация конечных элементов с узлами на сторонах в ПК ЛИРА 10.4. Апробация новых конечных элементов с узлами на сторонах

В ПК ЛИРА предыдущих версий (9.6, 10.0, 10.2) в расчетном процессоре были реализованы конечные элементы, дающие адекватное решение по большинству задач, однако в каждой расчетной модели нам приходилось следить за шагом разбиения и адекватностью сеток для достижения приемлемой сходимости получаемых результатов. В актуальной версии нашего программного комплекса (ПК ЛИРА 10.4) часть этих проблем успешно решаются при использовании в расчетах конечных элементов с узлами на серединах сторон. 

Рис.1 Треугольные и четырехугольные конечные элементы: традиционные (слева) и с узлами на серединах сторон (справа) 

Введение в ПК ЛИРА 10.4 конечных элементов с узлами на сторонах с точки зрения реализации потребовала создание ряда базисных функций для задач статики, динамики и устойчивости для конечных элементов: 
- Пластины: треугольник, четырехугольник; 
- Объемные элементы: тетраэдр, треугольная и четырехугольная призмы. 
Для статической задачи при m=1 (непрерывность функции) базисные функции выглядят следующим образом (рис.2): 

Рис.2 Базисные функции треугольных конечных элементов 

Рассмотрим применение конечных элементов с узлами на сторонах при решении задачи изгиба консольной балки с разным разбиением (рис.3): 

Рис.3 Рассматриваемые разбиения балки. ПК ЛИРА 10.4   

На рис. 4 представлено сравнение результатов расчета, полученных при решении задачи с использованием традиционных элементов и элементов с узлами на сторонах (высокоточных КЭ). По оси абсцисс отложены номера моделей из рис.3, по оси ординат - перемещение свободного конца консоли: 

Рис.4 Сравнение результатов. ПК ЛИРА 10.4   

Заказать бесплатную демонстрацию ПК ЛИРА 10

Существуют так называемые патологические тесты, выявляемые погрешности метода конечных элементов при использовании тех или иных конечных элементов. Рассмотрим одну из таких задач (рис.5): 

Рис.5 Скрученная консольная балка 

На рис. 5 представлена скрученная консольная балка под действием на свободном торце сосредоточенных поперечных сил. 

Исходные данные:
L=12.0 м, b=1.1 м, t=0.32 м; α= π∕2 – угол скручивания продольной оси балки; 
Характеристики материала:
"E= 2.9*(10)^7 кПа, μ=0.22; 
Граничные условия:
Все узлы заделки: ω=u=v=θ_z=θ_x=θ_y=0. 
Нагрузка:
P_y =1 кН, P_z =1 кН; 
Описание рассматриваемых задач:
Модель 1(2*): Система моделировалась трёх узловыми конечными элементами типа КЭ 42 
Модель 3 (4*): Система моделировалась трёх узловыми конечными элементами типа КЭ 46, 
Модель 5 (6*): Система моделировалась объёмными четырёх узловыми конечными элементами типа КЭ 32 
Модели, отмеченные (*) - выполнены с использованием конечных элементов с узлами на сторонах. 

В приведенной ниже таблице представлено сравнение полученных результатов: 

Рис.6 Сравнение результатов расчета 

Из рис.6 видно, что использование КЭ с узлами на сторонах дает существенную точность по сравнению с традиционными КЭ. Особенно это прослеживается по моделям 5 и 6*. 

Рассмотренные выше задачи и алгоритмы реализации новых конечных элементов были представлены на международной научной конференции «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения»), прошедшей 24 июня 2015 года в Российской академии архитектурно-строительных наук (РААСН). 

Смотреть презентацию доклада

Список использованной литературы: 
1. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980. –512 с. 
2. Евзеров И.Д. Неконформные конечные элементы для нелинейных уравнений с монотонными операторами// Численные методы механики сплошной среды. –1985. – Т.16. - №5. - С. 49-56. 
3. Карпиловский В.С. Четыpеxугольный восьмиузловой конечный элемент плиты // Стpоительная меxаника и pасчет сооpужений, 1990. — C. 13-17. 
4. Courant R. Variable methods for the solution of problem of equilibrium and vibration. – Bull. Amer. Math. Soc., 1943, №1.