В ПК ЛИРА предыдущих версий (9.6, 10.0, 10.2) в расчетном процессоре были реализованы конечные элементы, дающие адекватное решение по большинству задач, однако в каждой расчетной модели нам приходилось следить за шагом разбиения и адекватностью сеток для достижения приемлемой сходимости получаемых результатов. В актуальной версии нашего программного комплекса (ПК ЛИРА 10.4) часть этих проблем успешно решаются при использовании в расчетах конечных элементов с узлами на серединах сторон.
Рис.1 Треугольные и четырехугольные конечные элементы: традиционные (слева) и с узлами на серединах сторон (справа)
Введение в ПК ЛИРА 10.4 конечных элементов с узлами на сторонах с точки зрения реализации потребовала создание ряда базисных функций для задач статики, динамики и устойчивости для конечных элементов:
- Пластины: треугольник, четырехугольник;
- Объемные элементы: тетраэдр, треугольная и четырехугольная призмы.
Для статической задачи при m=1 (непрерывность функции) базисные функции выглядят следующим образом (рис.2):
Рис.2 Базисные функции треугольных конечных элементов
Рассмотрим применение конечных элементов с узлами на сторонах при решении задачи изгиба консольной балки с разным разбиением (рис.3):
Рис.3 Рассматриваемые разбиения балки. ПК ЛИРА 10.4
На рис. 4 представлено сравнение результатов расчета, полученных при решении задачи с использованием традиционных элементов и элементов с узлами на сторонах (высокоточных КЭ). По оси абсцисс отложены номера моделей из рис.3, по оси ординат - перемещение свободного конца консоли:
Рис.4 Сравнение результатов. ПК ЛИРА 10.4
Существуют так называемые патологические тесты, выявляемые погрешности метода конечных элементов при использовании тех или иных конечных элементов. Рассмотрим одну из таких задач (рис.5):
Рис.5 Скрученная консольная балка
На рис. 5 представлена скрученная консольная балка под действием на свободном торце сосредоточенных поперечных сил.
Исходные данные:
L=12.0 м, b=1.1 м, t=0.32 м; α= π∕2 – угол скручивания продольной оси балки;
Характеристики материала:
"E= 2.9*(10)^7 кПа, μ=0.22;
Граничные условия:
Все узлы заделки: ω=u=v=θ_z=θ_x=θ_y=0.
Нагрузка:
P_y =1 кН, P_z =1 кН;
Описание рассматриваемых задач:
Модель 1(2*): Система моделировалась трёх узловыми конечными элементами типа КЭ 42
Модель 3 (4*): Система моделировалась трёх узловыми конечными элементами типа КЭ 46,
Модель 5 (6*): Система моделировалась объёмными четырёх узловыми конечными элементами типа КЭ 32
Модели, отмеченные (*) - выполнены с использованием конечных элементов с узлами на сторонах.
В приведенной ниже таблице представлено сравнение полученных результатов:
Рис.6 Сравнение результатов расчета
Из рис.6 видно, что использование КЭ с узлами на сторонах дает существенную точность по сравнению с традиционными КЭ. Особенно это прослеживается по моделям 5 и 6*.
Рассмотренные выше задачи и алгоритмы реализации новых конечных элементов были представлены на международной научной конференции «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения»), прошедшей 24 июня 2015 года в Российской академии архитектурно-строительных наук (РААСН).
С презентацией доклада можно ознакомиться по .
Список использованной литературы:
1. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980. –512 с.
2. Евзеров И.Д. Неконформные конечные элементы для нелинейных уравнений с монотонными операторами// Численные методы механики сплошной среды. –1985. – Т.16. - №5. - С. 49-56.
3. Карпиловский В.С. Четыpеxугольный восьмиузловой конечный элемент плиты // Стpоительная меxаника и pасчет сооpужений, 1990. — C. 13-17.
4. Courant R. Variable methods for the solution of problem of equilibrium and vibration. – Bull. Amer. Math. Soc., 1943, №1.
Рис.1 Треугольные и четырехугольные конечные элементы: традиционные (слева) и с узлами на серединах сторон (справа)
Введение в ПК ЛИРА 10.4 конечных элементов с узлами на сторонах с точки зрения реализации потребовала создание ряда базисных функций для задач статики, динамики и устойчивости для конечных элементов:
- Пластины: треугольник, четырехугольник;
- Объемные элементы: тетраэдр, треугольная и четырехугольная призмы.
Для статической задачи при m=1 (непрерывность функции) базисные функции выглядят следующим образом (рис.2):
Рис.2 Базисные функции треугольных конечных элементов
Рассмотрим применение конечных элементов с узлами на сторонах при решении задачи изгиба консольной балки с разным разбиением (рис.3):
Рис.3 Рассматриваемые разбиения балки. ПК ЛИРА 10.4
На рис. 4 представлено сравнение результатов расчета, полученных при решении задачи с использованием традиционных элементов и элементов с узлами на сторонах (высокоточных КЭ). По оси абсцисс отложены номера моделей из рис.3, по оси ординат - перемещение свободного конца консоли:
Рис.4 Сравнение результатов. ПК ЛИРА 10.4
Существуют так называемые патологические тесты, выявляемые погрешности метода конечных элементов при использовании тех или иных конечных элементов. Рассмотрим одну из таких задач (рис.5):
Рис.5 Скрученная консольная балка
На рис. 5 представлена скрученная консольная балка под действием на свободном торце сосредоточенных поперечных сил.
Исходные данные:
L=12.0 м, b=1.1 м, t=0.32 м; α= π∕2 – угол скручивания продольной оси балки;
Характеристики материала:
"E= 2.9*(10)^7 кПа, μ=0.22;
Граничные условия:
Все узлы заделки: ω=u=v=θ_z=θ_x=θ_y=0.
Нагрузка:
P_y =1 кН, P_z =1 кН;
Описание рассматриваемых задач:
Модель 1(2*): Система моделировалась трёх узловыми конечными элементами типа КЭ 42
Модель 3 (4*): Система моделировалась трёх узловыми конечными элементами типа КЭ 46,
Модель 5 (6*): Система моделировалась объёмными четырёх узловыми конечными элементами типа КЭ 32
Модели, отмеченные (*) - выполнены с использованием конечных элементов с узлами на сторонах.
В приведенной ниже таблице представлено сравнение полученных результатов:
Рис.6 Сравнение результатов расчета
Из рис.6 видно, что использование КЭ с узлами на сторонах дает существенную точность по сравнению с традиционными КЭ. Особенно это прослеживается по моделям 5 и 6*.
Рассмотренные выше задачи и алгоритмы реализации новых конечных элементов были представлены на международной научной конференции «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения»), прошедшей 24 июня 2015 года в Российской академии архитектурно-строительных наук (РААСН).
С презентацией доклада можно ознакомиться по .
Список использованной литературы:
1. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980. –512 с.
2. Евзеров И.Д. Неконформные конечные элементы для нелинейных уравнений с монотонными операторами// Численные методы механики сплошной среды. –1985. – Т.16. - №5. - С. 49-56.
3. Карпиловский В.С. Четыpеxугольный восьмиузловой конечный элемент плиты // Стpоительная меxаника и pасчет сооpужений, 1990. — C. 13-17.
4. Courant R. Variable methods for the solution of problem of equilibrium and vibration. – Bull. Amer. Math. Soc., 1943, №1.
