Нелинейный статический метод анализа сейсмостойкости зданий и сооружений

Журнал: Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2016. №5
Рубрика: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Автор(ы): Булушев С.В., Джинчвелашвили Г.А., Колесников А.В.

Аннотация:

Нелинейный статический метод или Pushover Analysis, широко используемый за рубежом, основан на методе спектра несущей способности. В работе подробно описан метода нелинейного статического анализа с учетом возможности использования в отечественной нормативной литературе. Выполнен анализ гипотез и допущений при расчете на сейсмические воздействия сооружений нелинейным статическим методом, который позволяет проектировать простые и регулярные здания и сооружения с заданным уровнем обеспеченности сейсмостойкости на основе критерия необрушения несущих конструкций. Процедура нелинейного статического метода проанализирована на примере простой системы. Полученная сходимость результатов расчета на сейсмические воздействия зданий и сооружений на рассмотренном примере показала достоверность реализации автоматизированного расчета нелинейным статическим методом в ПК ЛИРА 10.4.

Нелинейный статический метод анализа сейсмостойкости зданий и сооружений (Pushover Analysis)

Введение

Обеспечение надежности и безопасности сейсмостойкого строительства, несомненно, представляет собой сложнейшую инженерную задачу. Нормами проектирования, разработанными в последнее время, допускается возможность работы материала конструкций за пределами упругости. Предполагается нелинейное поведение конструкций, и даже допускаются разрушения отдельных несущих элементов, которые должны быть относительно легкодоступны для обследования, ремонта и разрушение которых не наносит большого ущерба конструкции в целом [8].

Перед проектировщиками стоит задача рассчитать сооружения таким образом, чтобы при сильных землетрясениях разрушения не превышали определенного уровня, т.е. были бы контролируемыми и приемлемыми [4].

Расчет конструкций с учетом нелинейного поведения при разрушении отдельных элементов сооружения требует использования более сложных математических моделей и теорий [1 – 7, 15 – 18, 20 - 25].

В настоящее время в российских нормах по сейсмостойкому строительству до сих пор используется линейно-спектральный метод [8]. Этот метод достаточно прост и может достаточно точно оценить реакцию системы, работающей в упругой стадии, на сейсмическое воздействие. Но по мере перехода системы в неупругую стадию работы, точность оценки снижается. Слабая обоснованность коэффициента К₁может сильно занизить реакцию системы, допускающей пластические деформации [1, 4 и др.].

В связи с этим, появляется необходимость в использовании методов, которые учитывают нелинейную работу материалов и конструкций в целом. Одним из таких методов является нелинейный динамический анализ [1 – 7]. Но из-за своей трудоемкости, он не может быть закреплен в нормах, как основной для зданий и сооружений с низкой степенью ответственности.

За рубежом, при расчете сейсмостойкости зданий и сооружений, в практике проектирования, наряду со спектральным методом, применяется нелинейный статический метод, который в свою очередь основан на энергетических критериях [2, 12 – 15, 17 – 19, 21 - 23]. Этот метод получил название «Nonlinear Pushover analysis», а принятый в нём подход к проектированию можно рассматривать как проектирование сейсмостойких конструкций с заданными параметрами сейсмостойкости. Вектор поперечной силы F, используемый в этом методе определяется по формуле:

где p ­ параметр, контролирующий величину поперечной силы; W ­ матрица масс; Ф – матрица форм собственных колебаний.

Существенным допущением является то, что рассматривается система дифференциальных уравнений, в которой учитываются только горизонтальные степени свободы:

где U и R ­ векторы перемещений и внутренних сил, соответственно; I ­ единичный вектор; a_g ­ ускорение грунта основания, как функция времени.

Отметим, что диссипативные силы в выражении (2) отсутствуют. Они уже включены в расчетный спектр ускорений. Считается, что форма колебания Ф остается постоянной, то есть, что она не меняется в процессе колебания сооружения при движении основания. Это основное и самое важное предположение в рамках процедуры нелинейного статического анализа.

Наиболее известный метод нелинейного статического анализа - метод спектра несущей способности (Capacity Spectrum Method, CSM). Этот метод впервые был предложен Фрименом [18, 23], а затем утвержден в ATC-40 [12]. Сейчас в американских нормах используется модифицированный метод спектра несущей способности [13].

Хотя этот метод широко используется за рубежом, в русскоязычной литературе он встречается довольно редко [2, 3, 4]. А если и встречается, то описан недостаточно подробно, что затрудняет возможность использования данного метода в инженерной практике.

Целью настоящей работы является:

• подробно описать методологию нелинейного статического анализа с учетом возможности использования в реалиях российских норм;
• рассмотреть применение метода на примере простой системы;
• оценить полученные результаты;
• оценить возможность применения метода в инженерной практике.

Методика расчета состоит из этапов.

1. Создание расчетной модели. Расчет на сейсмические воздействия необходимо производить с учетом геометрической и физической нелинейностей. Диаграммы деформирования конструктивных элементов следует принимать в соответствии с указаниями [11] для железобетонных конструкций и приложению В [9] для стальных конструкций.

3. Приложение боковой нагрузки согласно одному из вариантов распределения по высоте сооружения:

        где W_i ­ масса i-го этажа;

      • распределение по j-ой форме колебаний:

        где ­ высота i-го этажа, ­ поперечная сила в основании, полученная линейно-спектральным методом;

     • распределение согласно распределению сейсмических сил по п. 5.5-5.10 [8].

4. Постепенно увеличивая боковую нагрузку до достижения верхом сооружения предельных перемещений или до полного обрушения конструкции (что становится возможным при учете физической нелинейности), получаем зависимость поперечной силы в основании от перемещения верха сооружения - кривую несущей способности. При этом необходимо учитывать появление текучести в элементах от комбинации вертикальной и боковой нагрузки (рис. 1).

Рисунок 1. Построение кривой несущей способности сооружения

5. Преобразование кривой несущей способности в спектр несущей способности с помощью следующих соотношений, в зависимости от направления сейсмического воздействия [12, 13] (рис. 2).:

где V ­ поперечная сила в основании, W ­ масса всего сооружения, d ­ перемещение верха сооружения, ­ коэффициент модальной массы j-ой формы,  ­ коэффициент распределения j-ой формы.

Рисунок 2. Преобразование кривой несущей способности в спектр несущей способности

6. Расчетный спектр отклика необходимо перевести в формат «Спектр ускорений - Спектр перемещений» или другими словами Спектр Реакций в формате Ускорения­-Перемещения (СРУП). В зарубежной литературе Acceleration-Displacement Response Spectrum, ADRS (рис. 3):

Спектр ускорений согласно п. 5.5 ­ 5.6 [8] получаем следующим образом:

K₁ в данном случае принимаем равным 1.

Рисунок 3. Преобразование расчетного спектра в формат СРУП

7. Полученные спектры наносятся совместно в координатах «Спектр ускорений ­ Спектр перемещений» (рис. 4).

Рисунок 4. Совмещение полученных спектров

Рисунок 5. Выбор предполагаемой характеристической точки

9. Производим билинейную аппроксимацию спектра несущей способности исходя из условия равенства площадей A₁ = A₂ (рис 6). Тем самым получаем перемещение точки текучести  и ускорение точки текучести .

Рисунок 6. Билинейная аппроксимация спектра несущей способности

10. Исходя из полученной билинейной аппроксимации получаем значения коэффициента пост-упругой жесткости и коэффициента пластичности по следующим формулам:

11. Используя коэффициенты пост-упругой жесткости α и пластичности μ, определяем эффективное затухание  и эффективный период :

Коэффициенты для конструкций, которые работают по билинейному гистерезису, могут быть определены из таблиц (табл. 1, 2) в зависимости от коэффициента пост-упругой жесткости . При определении промежуточных значений допускается определять по линейной интерполяции.

В дальнейшем для нахождения решения может быть использовано несколько алгоритмов [13].

Алгоритм А.

12.А   Для полученного эффективного затухания  строим новый спектр реакции  с помощью следующего соотношения:

13.A   Величина максимального перемещения d_i системы определяется точкой пересечения эффективного периода T_эф и СРУП. Величина максимального ускорения a_i находится из точки на спектре несущей способности, соответствующей d_i.

14.A   Если полученная характеристическая точка  совпадает с предполагаемой характеристической точкой или находится в достаточной близости (порядка 5%), то это и есть искомые величины максимального ускорения и перемещения системы. Если нет, тогда необходимо повторить все шаги, начиная с шага 8, выбрав новую точку (рис. 7).

Рисунок 7. Нахождение характеристической точки по алгоритму А

Алгоритм Б.

12.Б   Для полученного эффективного затухания строим новый спектр реакции (18) ,­ (19).

13.Б   Умножая только ординаты нового спектра на коэффициент М, получаем модифицированный спектр отклика в формате «Спектр ускорений - Спектр перемещений» ­ или Модифицированный Спектр Реакций Ускорения – Перемещения (МСРУП). В зарубежной литературе Modified Acceleration-Displacement Response Spectrum (MADRS). Коэффициент преобразования находится, используя начальный , эффективный и секущий периоды системы:

14.Б   Величины максимального ускорения a_i и перемещения d_i системы определяются точкой пересечения спектра несущей способности и МСРУП.

15.Б   Если полученная характеристическая точка  совпадает с предполагаемой характеристической точкой  или находится в достаточной близости (порядка 5%), то это и есть искомые величины максимального ускорения и перемещения системы. Если нет, тогда необходимо повторить все шаги, начиная с шага 8, выбрав новую точку (рис. 8).

Рисунок 8. Нахождение характеристической точки по алгоритму Б

Алгоритм В.

12.В   Для полученного эффективного затухания строим новый спектр реакции (18) ­, (19).

13.В   Умножая ординаты нового спектра на коэффициент М (20) ­ (21), получаем модифицированный спектр отклика в формате МСРУП (MADRS).

14.В   Возможная характеристическая точка определяется пересечением прямой секущего периода  и МСРУП.

15.В   Выбирая различные точки  , и повторяя шаги, начиная с шага 8, получаем серию возможных характеристических точек.

16.В   Искомая характеристическая точка пересечения кривой, полученной в предыдущем шаге, и спектра несущей способности (рис. 9).

Рисунок 9. Нахождение характеристической точки по алгоритму В

17.B   Выполняя обратный переход к кривой несущей способности , , (4) – (7), получаем перемещение рассматриваемой точки и поперечную силу в основании системы.

Рисунок 10. Расчетная схема

Расчет производился в программном комплексе ЛИРА 10.4 и системе компьютерной математики Matlab.

Приведем решение задачи в виде алгоритма.

1.  Рассчитываем раму на сейсмическое воздействие по [8] в ПК ЛИРА 10.4. Получаем сейсмические силы по первой форме.

2. Прикладываем полученные силы в качестве нагрузок и производим расчет на сейсмические воздействия в нелинейной статической постановке. Диаграмма деформирования приведена на рис. 11. В результате получаем кривую несущей способности.

Рисунок 11. Диаграмма деформирования стали

3.  Выполняя шаги 5 и 11 вышеописанной методики, получаем эффективное затухание и эффективный период (рис. 12). Дальнейший расчет на сейсмические воздействия осуществляется по алгоритму А.

Рисунок 12. Применение методики. Шаги 5 ­ 11

4.  Результаты выполнения шагов 12.А и 14.А приведены на рис. 13. Так как точки  и  не находятся в достаточной близости, повторяем все итерации, начиная с шага 8. Новая точка  выбиралась посередине между точками  и .

Рисунок 13. Применение методики. Шаги 12.А ­ 14.А

5.  Выполнив 9 итераций, получаем, что точки совпали с точностью 0.1% (рис. 14).

Рисунок 14. Применение методики. Окончательный результат

6. Определив перемещение рассматриваемой точки, переходим к соответствующему шагу нелинейного расчета в ПК ЛИРА 10.4. Таким образом, получаем напряженно-деформированное состояние системы.

7. Так же, с помощью данной методики можно определить коэффициент , соответствующий данной расчетной схеме сооружения. Из рисунка 15 видно, что полученный коэффициент существенно отличается от коэффициента  [8].

Рисунок 15. Расчетные спектры реакции: исходный, с полученным коэффициентом и с коэффициентом [8]

Рассмотрим решение вышеописанной задачи с использованием модуля Pushover analysis, реализованного в ПК ЛИРА 10.4 (Рис. 16):

Рисунок 16. Сравнение «ручного расчета» с модулем Pushover analysis в ПК ЛИРА 10.4

Полученная сходимость результатов расчета сейсмостойкости зданий и сооружений позволяет судить о достоверности реализации автоматизированного расчета нелинейным статическим методом (Pushover analysis) в ПК ЛИРА 10.4 в рамках рассмотренного примера.

Скачать пример задачи с использованием Pushover analysis в ПК ЛИРА 10.4

Заключение

1. В условиях неопределенности сейсмологической информации, для анализа несущей способности сооружений при сейсмических воздействиях достаточно продуктивным оказался энергетический критерий – критерий равенства энергий.

2. В практике проектирования, наряду со спектральным методом, должен применяться нелинейный статический метод, который в свою очередь основан на энергетических критериях. Этот метод получил название «Nonlinear Pushover analysis», а принятый в нём подход к проектированию можно рассматривать как проектирование сейсмостойких конструкций с заданными параметрами сейсмостойкости.

3. Методика нелинейного статического анализа в расчете сейсмостойкости зданий и сооружений в зависимости от постановки позволяет, либо отказаться от коэффициента совсем (как показано выше), либо вычислять коэффициент для конкретного здания или сооружения не прибегая к таблице 4 [8]. Такой подход позволяет с большей точностью оценивать реакцию систем определенной конструктивной схемы, допускающей повреждения и пластические деформации, на сейсмическое воздействие.

4. Согласно п. 5.2.б [8], при расчете на сейсмические воздействия, соответствующие уровню МРЗ, необходимо учитывать возможность развития неупругих деформаций. При решении задачи в такой постановке применение нелинейного статического метода не запрещается и может применяться широким кругом специалистов.

5. Рассмотренный в настоящей работе «ручной» метод определения кривой СРУП и характеристической точки может быть применен с использованием любого отечественного или зарубежного программного комплекса, позволяющего производить статические расчеты с учетом физической и геометрической нелинейностей. Это позволяет применять рассмотренный метод в инженерной практике.

6.      В работе выполнен анализ гипотез и допущений при расчете сооружений на землетрясения нелинейным статическим методом, который позволяет проектировать простые и регулярные здания и сооружения с заданным уровнем сейсмостойкости на основе критерия необрушения несущих конструкций.

7. Этот метод весьма эффективен для зданий и сооружений со стальным и железобетонным каркасом (в том числе, связевым) простой формы, с регулярным распределением несущих элементов в плане и по вертикали. Однако, для зданий перекрестно-стеновой конструктивной системы, он дает большие погрешности по сравнению с нелинейными динамическими методами. Более сложные конструктивные схемы зданий и сооружений будут рассмотрены в следующих работах.

В ЛИРА 10.6, презентация которой состоится 6 декабря в Москве, расчет на сейсмические воздействия с использованием нелинейного статического метода (Pushover analysis) был существенно модернизирован.

Подробнее о презентации

Список литературы:

1. Джинчвелашвили Г. А., Мкртычев О.В. Оценка нелинейной работы зданий и сооружений при аварийных воздействиях // Проблемы безопасности российского общества. 2012. №3. - с. 17-31.

2. Джинчвелашвили Г. А. Нелинейные динамические методы расчета зданий и сооружений с заданной обеспеченностью сейсмостойкости //автореферат дисс. на соискание ученой степени докт. техн. наук. – М.: МГСУ, 2015. – 46 с.

3. Задоян П.М. Оценка сейсмостойкости методом спектра несущей способности. // Известия Ереванского государственного университета архитектуры и строительства, 2/2009.

4. Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г. А. Проблемы учета нелинейностей в теории сейсмостойкости (гипотезы и заблуждения) // Москва: МГСУ, 2012. (Библиотека научных разработок и проектов МГСУ). - 192 с.

5. Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А., Бусалова М.С. Задача вероятностного расчета конструкции на нелинейно деформируемом основании со случайными параметрами // Вестник МГСУ. 2013. № 12. - с. 106-112.

6. Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А., Дзержинский Р.И. Философия многоуровневого проектирования в свете обеспечения сейсмостойкости сооружений // Геология и геофизика Юга России. 2016. № 1. - с. 71-81.

7. Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А. Оценка работы зданий и сооружений за пределами упругости при сейсмических воздействиях // XXI Russian-Slovak-Polish Seminar, “Theoretical Foundation of Civil Engineering”, Moscow-Archangelsk 03.07 – 06.07.2012. - pp. 177 – 186.

8. СП 14.13330.2014. «Строительство в сейсмических районах. Актуализированная редакция СНиП II-7-81*», М., 2014;

9. СП 16.13330.2011. «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81*», М., 2011;

10. СП 20.13330.2011. «Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85*», М., 2011;

11. СП 63.13330.2012. «Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. Актуализированная редакция СНиП 52-01-2003» М., 2012;

12. Applied Technology Council (ATC). «Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings». Rep. No. ATC-40, Volumes 1 and 2, Redwood City, CА, 1996.

13. Applied Technology Council (ATC). «Improvement of nonlinear static seismic analysis procedures». Rep. No. ATC-55, Redwood City, CА, 2005.

14. Building Seismic Safety Council. NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA-273, Federal Emergency Management Agency, Washington, DC, 1997.

15. Chopra Anil K. Dynamics of Structures. Theory and Applications to Earthquake Engineering. – Prentice Hall, Inc. 1995, Englewood Cliffs, New Jersey, 07632. – 794 p.

16. Clough Ray W., Penzien Joseph. Dynamics of Structures (Third Edition). - Computers & Structures, Inc. 1995 University Ave., Berkeley, CA 94704, USA. – 752 p.

17. Datta T. K. Seismic Analysis of Structures, John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd. 2010. – p. 464.

18. Freeman S.A., «Prediction of Response of Concrete Buildings to Severe Earthquake Motion», Douglas McHenry International Symposium on Concrete and Concrete Structures, SP-55, American Concrete Institute, Detroit, Michigan, 1978. Pp. 589-605.

19. Kanai K. Semi-empirical formula for the seismic characteristics of the ground. BERJ, 35 (1957).

20. Mkrtychev O.V., Dzhinchvelashvili G.A., Busalova M.S. Calculation accelerograms parameters for a ”Construction-Basis” model, nonlinear properties of the soil taken into account / Procedia Engineering –2014 - vol.91, pp. 54-57.

21. NEHRP Recommended Provisions for Seismic Regulations for New Buildings and other Structures. Part 1: 1997 Edition. Building Seismic Safety Council (USA), - 342p.

22. Paz Mario. Structural Dynamics: Theory and Computation / by Mario Paz, William Leigh. – 5th ed., 2004. – 844p.

23. Themelis S. Pushover analysis for seismic assessment and design of structures, Heriot-Watt University, School of Built Enviroment, 2008;

24. Verruijt Arnold. SOIL DYNAMICS /Delft University of Technology 1994, 2008. – 425p.

25. Wolf J.P. Dynamic Soil-Structure Interaction /1985, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 07632. – 481 p.